Hamiltonian apa sih ???

Kali ini kita akan membahas tentang Hamiltonian. Yang terpenting dari semua adalah fakta bahwa gagasan Hamilton merupakan teori relativitas, kuantum mekanik, dan statistical mekanik merupakan dasar cabang dari teori teori fisika. Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat rampatan.  Lintasan yang sebenarnya dari suatu partikel yang mengikuti antara 2 titik dan diberi interval Sehingga didapatkan integral yang seimbang ketika terjadi pada lintasan yang sesungguhnya

                                                      (1)

Walaupun kita dapat membuktikan prinsip ini untuk partikel tunggal dan di koordinat kartesian, kita dapat membuktikan partikel tunggal dari 3 pernyataan dibawah ini

1.      Lintasan partikel adalah ditentukan dari hukum 2 newton. F = ma

2.      Lintasan ditentukan dari ketiga persamaan lagrange pada koordinat kartesian

3.      Lintasan ditentukan oleh prinsip Hamilton

Prinsip Hamilton mendasari bentuk bentuk umum dari beberapa medan luar mekanika klasik. Untuk mengetahui Hamiltonian sebelumnya kita harus mengetahui koordinat kartesian  r = (x, y, z). Seandainya kita menggunakan koordinat lain seperti koordinat polaratau koordinat silinderatau menggunakan koordinat umumnya (q₁, q₂, q₃). Kali ini kita mengambil koordinat umumnya dengan r = r (q₁, q₂, q₃).  Sehingga kita dapat menuliskan kembali lagrangian Yang merupakan variable dari, 

 
Sehingga jika diintegralkan menjadi     
                                               (2)

Nilai S merupakan integral dari variable yang tidak dapat diubah. S tidak dapat berubah disepanjang system koordinat, ini berarti bahwa lintasan yang benar harus memenuhi ketiga persamaan euler Lagrange.

                   (3)

Pada hasilnya persamaan Lagrange mempunyai bentuk sama dengan pilihan koordinat umum. Ini merupakan alas an bahwa bentuk Lagrangian baik untuk digunakan. persamaan kedua tersebut sama dengan hukum 2 newton. Sehingga  dapat diketahui persamaan lagrange dari koordinat katersianKita dapat dengan mudah menganggap persamaan Lagrange untuk sistem dari beberapa partikel seperti dibawah ini

Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari koordinat umum

   

Langrangian ? Apasih itu?

Kali ini, kita akan membahas tentang persamaan Lagrange yang mempunyai dari besaran antara lain energi kinetik T , energi potensial U, serta kerja W . Sebelum membahas Lagrange tersebut terlebih dahulu kita harus mengingat kembali posisi suatu titik dalam suatu koordinat. Jika sebuah partikel bergerak didalam suatu ruang tiga dimensi maka dapat dituliskan energi kinetiknya yang bekerja. Pada dasarnya energi kinetik merupakan fungsi koordinat umum dan kecepatan umum, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :

                            (1)

Sedangkan energi potensial U merupakan fungsi koordinat umum saja, sehingga dapat dituliskan menjadi

                (2)

Sehingga dari kedua persamaan tersebut dapat digunakan untuk mecari fungsi lagrangian yang dapat diartikan sebagai :

                                                         (3)

Dalam lagrangian ini, posisi partikel dinyatakan dalam symbol (x, y, z), dan kecepatannya dinyatakan sebagai  . Sehingga lagrangian

·         Sistem konservatif

Saat suatu system konservatif, maka jumlah energy kinetik serta energi potensialnya adalah konstan. Differensial energy total adalah nol. Pernyataaan tersebut ditunjukkan dalam persamaan dibawah ini

                                                     (4)

Lagrangian bekerja di seluruh system koordinat dan dapat membatasi system. Bentuk lagrangian merupakan persamaan gerak dari system holonomic dengan koordinat umum. Bentuk persamaan diatas yang sudah dideferensialkan dapat ditulis seperti bentuk berikut :

                               (5)

Operasi yang sama dapat diaplikasikan kedalam system yang bergerak terbatas dengan gaya spesifik yang konservatif.
                        (6)          
                   

    

               (7)

Pada persamaan kedua tersebut didapatkan persamaan kedua tersebut sama dengan hukum 2 newton   Sehingga  dapat diketahui persamaan lagrange da koordinat katersian.

                   (8)

Pada langkah selanjutnya kita mengenal tiga persamaan diatas dari persamaan Lagrange euler.

·         Sistem tidak konservatif

Jika suatu sistem dipengaruhi gaya gaya yang tidak mempunyai potensial dapat menggunakan persamaan seperti dibawah ini

                                                                (9)

Dimana, dW merupakan kerja dari gaya tidak berpotensial jika sistem mengalami perpindahan yang sembarang yang sangat kecil. Dengan besaran 

merupakan gaya umum yang berhubungan dengan koordinat umum qi. Sehingga  didapatkan persamaan Lagrange yang melibatkan gaya tidak konservatif menjadi

                                     (10)

                                                            

Penerapan persamaan Lagrange

Persamaan Lagrange sering kali digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Langkah langkah yang dilakukan untuk mendapatkan persamaan ini antara lain, kita harus dapat mengetahui koordinat apa yang harus dipakai untuk menyelesaikan persamaan ini, karena terdapat berbagai tipe koordinat. Setelah kita mengetahui koordinat apa yang dipakai maka dapat ditentukan posisi dan kecepatan partikel setiap satuan waktu agar dapat dicari energi kinetiknya dengan menggunakan persamaan 7.1. Jika  suatu sistem gerak partikel konservatif, maka dilanjutkan dengan mencari energi potensialnya. Namun apabila sistem tersebut tidak konservatif maka dicari nilai koordinat rampatannya 

Contoh penerapan dari persamaan lagrange ini adalah seperti:

1. Suatu partikel bermassa m yang bergerak karena pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang.
2. Osilasi harmonik dalam satu dimensi. Jika suatu gaya peredam bekerja padanya sebanding dengan kecepatan. Maka system tersebut tidak konservatif.
3. Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m₁ dan m₂ dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan.
4. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan. Jika sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau

Tulus

Jika wajahmu

menyiratkan ketulusan hatimu,

kehidupan akan memilihkan kualitas

dari isi hatimu.

Jagalah hatimu dari prasangka

yang mengkejikan dugaanmu.

Peliharalah pikiranmu dari perhitungan

yang memburukkan pekertimu,

yang melebihkanmu sebagai pembenci

daripada pengasih.

Maka, serahkanlah hatimu

kepada kebaikan,

karena hanya dengannya

hatimu menjadi bening,

dan dengannya kehidupanmu

menjadi indah.

Jiwa yang damai

Tuhanku,

Kini ku mengerti,

aku menjadi jiwa yang damai,

bukan karena aku berhasil memadamkan

semua kontradiksi di dalam diriku,

tetapi karena aku justru

menggunakan kegelisahan hatiku

untuk menjadikanku lebih sabar

dan lebih mengerti maksud di balik kesulitan

yang kau hamparkan sebagai jalan naikku.

Tuhanku,

Aku mohon Engkau mendamaikanku,

atau menggelisahkanku dengan kesulitan

yang memuliakanku.

Amien..